Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

Пусть на плоскости находятся взаимно непересекающиеся, расположенные внешним образом три окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$,${{\Gamma }_{3}}$. Для каждой точки $P$ плоскости, расположенной вне данных окружностей, построим шесть точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{B}_{3}}$ по следующему правилу: При всех $i=1,\ 2,\ 3$ точки ${{A}_{i}}$, ${{B}_{i}}$ являются различными точками окружности ${{\Gamma }_{i}}$ такие, что прямые $P{{A}_{i}}$ и $P{{B}_{i}}$ касаются окружности ${{\Gamma }_{i}}$. Назовем точку $P$ исключительной, если соответствующие ей прямые ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}{{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}{{B}_{3}}$ пересекаются в одной точке. Докажите, что все исключительные точки плоскости, если существуют, расположены на одной окружности.