Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

Пусть ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}},\ {{a}_{4}},\ {{a}_{5}}$ — действительные числа, удовлетворяющие следующим равенствам:

\frac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\frac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+ \frac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\frac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\frac{1}{{{k}^{2}}}

при $k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ . Найдите значение выражения $\frac{{{a_1}}}{{37}} + \frac{{{a_2}}}{{38}} + \frac{{{a_3}}}{{39}} + \frac{{{a_4}}}{{40}} + \frac{{{a_5}}}{{41}}.$ (Представьте ответ в виде обыкновенной дроби).