Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2009 года | Казахстанские олимпиады

Рассмотрим следующую операцию на положительных действительных числах, написанных на доске: С доски стирается произвольное число, например $r$, а вместо него пишется пара положительных чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих следующему условию $2{{r}^{2}}=ab$.
Предположим, что в начале на доске было написано одно положительное действительное число $r$, и после этого дозволенная операция применялась ${{k}^{2}}-1$ раз. Докажите, что среди полученных ${{k}^{2}}$ положительных действительных чисел (необязательно разных) найдется число, которое не превосходит $kr$.