Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2006 года | Казахстанские олимпиады

Пусть различные точки $A$ и $B$ лежат на окружности $O$ и точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Окружность $O_1$ касается прямой $AB$ в точке $P$ и касается окружности $O$. $\ell$ является касательной к окружности $O_1$, отличной от прямой $AB$ и проходящей через точку $A$. $C$ является точкой пересечения прямой $\ell$ и окружности $O$, отличной от точки $A$. Точка $Q$ является серединой отрезка $BC$, а окружность $O_2$ касается прямой $BC$ в точке $Q$ и касается отрезка $AC$. Докажите, что окружность $O_2$ касается окружности $O$.