Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2006 года | Казахстанские олимпиады

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде конечной суммы различных целых степеней золотого сечения $\tau =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Здесь под целой степенью золотого сечения $\tau$ понимается число вида ${{\tau }^{i}}$, где $i$ — целое (не обязательно положительное).