Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 2003 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $a$, $b$, $c$ являются длинами сторонами треугольника, где $a + b + c = 1$, и пусть $n \geq 2$ является натуральным числом. Докажите, что $\sqrt[n]{{{a}^{n}}+{{b}^{n}}}+\sqrt[n]{{{b}^{n}}+{{c}^{n}}}+\sqrt[n]{{{c}^{n}}+{{a}^{n}}} < 1+\frac{\sqrt[n]{2}}{2}.$