Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 1997 года | Казахстанские олимпиады

Предположим, что $n$ человек ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{n}}$ , $(n\ge 3)$ сидят по кругу и ${{A}_{i}}$ имеет ${{a}_{i}}$ предметов таких, что ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=nN,$ где $N$ — натуральное число. Для того, чтобы каждый человек имел одинаковое число предметов, каждый человек ${{A}_{i}}$ должен отдать или принять определенное количество предметов от двух своих соседей ${{A}_{i-1}}$ и ${{A}_{i+1}}$. (Здесь ${{A}_{n+1}}$означает ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{n}}$ означает ${{A}_{0}}$.) Как данное распределение должно быть выполнено, чтобы общее число передаваемых предметов было минимальным.