Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 1997 года | Казахстанские олимпиады

Треугольник ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ имеет прямой угол при вершине ${{A}_{3}}$. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных $n\ge 3$ точка ${{A}_{n+1}}$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки ${{A}_{n}}$ на прямую ${{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}$.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка $P$ является внутренней для любого треугольника ${{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n}} , \quad n\ge 3.$
(b) Пусть ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$ — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки ${{A}_{2}}$ на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки $P$.