Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 1997 года | Казахстанские олимпиады

Пусть $ABC$ — треугольник, вписанный в окружность и пусть ${{l}_{a}}=\frac{{{m}_{a}}}{{{M}_{a}}}$ , ${{l}_{b}}=\frac{{{m}_{b}}}{{{M}_{b}}}$ , ${{l}_{c}}=\frac{{{m}_{c}}}{{{M}_{c}}},$ где ${{m}_{a}}$, ${{m}_{b}}$, ${{m}_{c}}$ — длины биссектрис треугольника и ${{M}_{a}}$, ${{M}_{b}}$, ${{M}_{c}}$ — длины биссектрис углов, продолженных до пересечения с окружностью. Докажите, что $\frac{{{l}_{a}}}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{{{l}_{b}}}{{{\sin }^{2}}B}+\frac{{{l}_{c}}}{{{\sin }^{2}}C}\ge 3,$ и равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABC$ — равносторонний треугольник.