Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике 1990 года | Казахстанские олимпиады

Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ — положительные действительные числа, и пусть ${{S}_{k}}$ — сумма всевозможных произведений $k$ элементов, взятых из набора ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$, $\ldots$ ,${{a}_{n}}$. Докажите, что ${{S}_{k}}{{S}_{n-k}}\ge {{\left( C_{n}^{k} \right)}^{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}$ для $k=1,2,\ldots ,n-1$.