IZhO олимпиада по математике 2021 года | Казахстанские олимпиады

Дано натуральное число $n\geqslant 2$. У Элвина есть таблица $n\times n$, заполненная вещественными числами (в каждой клетке записано ровно одно число). Назовём ладейным множеством множество из $n$ клеток, расположенных как в $n$ различных столбцах, так и в $n$ различных строках. Предположим, что сумма чисел в клетках любого ладейного множества неотрицательна.
   За ход Элвин выбирает строку, столбец, а также вещественное число $a$; к каждому числу в выбранной строке он прибавляет $a$, а из каждого числа в выбранном столбце — вычитает $a$ (таким образом, число в пересечении строки и столбца не изменяется). Докажите, что Элвин может, сделав несколько ходов, добиться, чтобы все числа в таблице стали неотрицательными.