IZhO олимпиада по математике 2017 года | Казахстанские олимпиады

Первые $k$ членов $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ последовательности $(a_n)$ — различные натуральные числа, а при $n > k$ число $a_n$ — наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$. Докажите, что $a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно больших $n$.