IZhO олимпиада по математике 2016 года | Казахстанские олимпиады

Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$. Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число.