IZhO олимпиада по математике 2008 года | Казахстанские олимпиады

Непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются прямой $\ell$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно (окружности лежат по одну сторону от $\ell$). Точка $K$ — середина отрезка $A_1A_2$. На окружностях $\omega_1$ и $\omega_2$ выбраны точки $B_1$ и $B_2$ соответственно так, что прямые $KB_1$ и $KB_2$ касаются $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно (точка $B_1$ отлична от $A_1$, а точка $B_2$ отлична от $A_2$). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $L$, а прямые $KL$ и $O_1O_2$ — в точке $P$.

Докажите, что точки $B_1$, $B_2$, $P$ и $L$ лежат на одной окружности.