Районная олимпиада по математике 2022 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Последовательность $a_n$ при всех натуральных значениях $n$ задаётся формулой ${a_n} = \sqrt {1 + {{\underbrace {99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2} + {{\underbrace {0,99 \ldots 9}_{n \text{ девяток}}}^2}} .$
   Вычислите $\big\{S\big\}$, где $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$.
   Здесь $\{x\}$ означает дробную часть числа $x$. Например, $\{5,64\} = 5,64 - 5 = 0,64$.