Областная олимпиада по математике 2022 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Докажите, неравенство $\left(\frac{r_a}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_b}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) <\frac{8R\sqrt{2}}{p}.$ Здесь $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$, а $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $BC$, $AC$, $AB$ соответственно.