Областная олимпиада по математике 2021 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB.$ Прямая, проходящая через точку $D,$ середину гипотенузы $AB,$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $Q.$ Пусть $M$ — середина отрезка $PQ.$ Из точки $R,$ симметричной точке $D$ относительно точки $M,$ проведён перпендикуляр $RF$ на гипотенузу $AB.$ Докажите, что $CM$ является биссектрисой угла $FCD.$