Областная олимпиада по математике 2019 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом: $a_1=3$ и $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ для всех натуральных $n.$ Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство $\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}.$