Областная олимпиада по математике 2018 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $A_1,B_1,C_1$ и $D_1$ выбраны соответственно на отрезках $AO,BO,CO$ и $DO$ так, что $AA_1=CC_1$, $BB_1=DD_1$. Пусть описанные окружности треугольников $AOB$ и $COD$ второй раз пересекаются в точке $M$, описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $N$, описанные окружности треугольников $A_1OB_1$ и $C_1OD_1$ второй раз пересекаются в точке $P$, описанные окружности треугольников $A_1OD_1$ и $B_1OC_1$ второй раз пересекаются в точке $Q$. Докажите, что точки $M,$ $N,$ $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.