Областная олимпиада по математике 2018 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

В треугольнике $ABC$ вневписанные окружности касаются сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_1,$ $A_1,$ $B_1$ соответственно. Точка $A'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BB_1$ и $CC_1$. Точка $B'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $CC_1.$ Точка $C'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $BB_1.$ Точки $A',$ $B',$ $C'$ лежат внутри треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $AA',$ $BB',$ $CC'$ пересекаются в одной точке.