Областная олимпиада по математике 2017 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Дан треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину $A$ и точку $O$, но не проходят через точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые $O{{B}_{1}}$ и $O{{C}_{1}}$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что отношение $K{{B}_{1}}$ к $L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.