Областная олимпиада по математике 2015 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть $n$ — натуральное число. Через $P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных $k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение $P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot \dots \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.