Областная олимпиада по математике 2011 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть $A=1-{{2}^{-2011}}$. Докажите, что $A+{{A}^{2}}+{{A}^{4}}+\dots +{{A}^{{{2}^{1000000000}}}}<2012$.