Областная олимпиада по математике 2011 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть $p$ — простое число. Найдите количество всех упорядоченных троек $(a,b,c)$, удовлетворяющих двум условиям:
i) числа $a,b,c$ принадлежат множеству $\lbrace1,2, \dots ,2p^2\rbrace$;
ii) $\dfrac{[a,c]+[b,c]}{a+b}=c \cdot \dfrac{p^2+1}{p^2+2}$, где $[x,y]$ обозначает наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.