Областная олимпиада по математике 2009 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть
$\{a_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что $|a_{n+1}-a_n| \leq 1$ для всех натуральных чисел $n$, а
$\{b_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что
$b_n = \dfrac{{a_1 + a_2 + \dots + a_n }}{n}$. Докажите, что $|b_{n + 1} - b_n | \leq \frac{1}{2}$ для всех натуральных $n$.