Республиканская олимпиада по математике 2021 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

Продолжения сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а диагонали $AC$ и $BD$ — в точке $Q$. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BCQ$ и $MNQ$ пересекаются в точке $T$ ($T\ne Q$). Докажите, что если $\angle APD =90^\circ$, то прямая $PT$ делит отрезок $MN$ пополам.