Республиканская олимпиада по математике 2021 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. В этом треугольнике проведены высоты $AD, BE$ и $CF$. Прямая $AD$ пересекает $\Omega$ вторично в точке $P,$ а прямые $PF$ и $PE$ пересекают $\Omega$ вторично в точках $R$ и $Q$ соответственно. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $BFR$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что прямая $O_1O_2$ делит отрезок $EF$ пополам.