Республиканская олимпиада по математике 2020 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

В комнате есть $n$ ламп и $k$ выключателей. В начале каждая лампа может быть либо включенной, либо выключенной. Каждая лампа соединена проводом ровно с 2020 выключателями. Нажатие на выключатель изменяет на противоположное состояние каждой лампы, к которой он подключен проводом. Известно, что можно так понажимать на выключатели, что все лампы станут включенными. Докажите, что можно добиться того же результата не более, чем за $\left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ нажатий на выключатели. $\left \lfloor x \right \rfloor$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.