Республиканская олимпиада по математике 2016 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, а вневписанная окружность, соответствующая стороне $AB$, касается продолжении этих сторон в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно. Пусть вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$. Обозначим через $O_a$ и $O_b$ центры описанных около треугольников $A_1A_2K$ и $B_1B_2K$ окружностей. Докажите, что прямая $O_aO_b$ проходит через середину отрезка $AB$.