Республиканская олимпиада по математике 2015 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Последовательность $\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом: ${{a}_{1}}=2015$, ${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных $n\ge 1$ ${a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .$ Докажите, что существуют натуральные числа $M$ и $c$ такие, что при всех $n\ge M$ число $n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь $\left\lceil x \right\rceil$ — верхняя целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое число, которое не меньше $x$. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде ${{m}^{k}}$ для некоторых целых $m > 1$ и $k > 1$.)