Республиканская олимпиада по математике 2014 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $\omega$ — описанная окружность. Прямые $BI$ и $CI$ пересекают ${{\omega }}$ соответственно в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$, а прямая $B_1C_1$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $C_2$ и $B_2$, соответственно. Пусть ${{\omega }_{1}}$ — описанная окружность треугольника $I{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, а прямые $IB_2$ и $IC_2$ пересекают $\omega_1$ в точках $M$ и $N$, соответственно. Докажите, что $B{{C}_{2}}\cdot {{B}_{2}}C={{B}_{2}}M\cdot {{C}_{2}}N$.