Республиканская олимпиада по математике 2013 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Последовательность $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ определена следующим образом:

a_1 = 1, ~{a_n} = \frac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \frac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \frac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.

Докажите, что для всех натуральных чисел $n$ выполнено $a_{2n} < 2a_n$ . Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$ , наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .