Республиканская олимпиада по математике 2012 года за 10 класс | Казахстанские олимпиады

Пусть $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника $A_1A_2A_3$ площади $S$. $\omega_1$ касается стороны $A_2A_3$ в точке $B_1$ (и продолжении сторон $A_1A_2$ и $A_1A_3$). Прямая $A_1B_1$ пересекает $\omega_1$ в точках $B_1$ и $C_1$. Пусть $S_1$ — площадь четырехугольника $A_1A_2C_1A_3$. Аналогично определим $S_2$ и $S_3$. Докажите, что