Республиканская олимпиада по математике 2003 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Докажите, что число $C_{2p}^p - 2$ делится на $p^3$, для любого простого $p \geq 5$, где $C_{2p}^p=\frac{(2p)!}{{(p!)}^2}$.