Республиканская олимпиада по математике 2000 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

Для четверки чисел $(a, b, c, d)$ назовем число $(ac-bd)$ — определителем и $(a-c)(b-d)$ — дополнителем. Школьники по очереди выходят к доске и записывают определитель и дополнитель четверки, затем заменяют четверку по следующему правилу. Если на доске была написана четверка $(x, y, z, t)$, то она заменяется на $(x+y, y+z, z+t, t+x)$. Первоначальная четверка целочисленная. Через некоторое количество выходов выяснилось, что сумма определителей равна 1999, а сумма дополнителей 2000. Доказать, что определитель первоначальной четверки отличается от дополнителя последней.