Республиканская олимпиада по математике 2000 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. $A'$, $B'$, $C'$ соответственно середины дуг $BC, CA, AB$. Стороны $BC,CA$, и $AB$ пересекают пары отрезков $(C'A', A'B')$, $(A'B', B'C')$ и $(B'C', C'A')$в парах точек $(M, N)$, $(P, Q)$ и $(R, S)$ соответственно. Докажите, что $MN=PQ=RS$ тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ равносторонний.