Республиканская олимпиада по математике 1999 года за 11 класс | Казахстанские олимпиады

Докажите, что для любого нечетного $n$ существует единственный многочлен $P(x)$ $n$-ой степени, удовлетворяющее уравнению $P\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^n-\frac{1}{x^n}.$ Верно ли это утверждение для любого натурального $n$?