ГЖО олимпиада по математике 2012 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоторая точка, равноудаленная от $A$ и $B$. Построим последовательность точек ${{C}_{1}}=C,{{C}_{2}},{{C}_{3}},\ldots ,{{C}_{n}},{{C}_{n+1}},\ldots$, где ${{C}_{n+1}}$ — центр окружности, описанной около треугольника $A{{C}_{n}}B$. При каком положении точки $C$:
a) точка ${{C}_{n}}$ попадет на середину отрезка $AB$ (при этом ${{C}_{n+1}}$ и дальнейшие члены последовательности не определены);
b) точка ${{C}_{n}}$ совпадет с $C$?