ГЖО олимпиада по математике 2011 года за 9 класс | Казахстанские олимпиады

Опустим из любой точки $P$ биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикуляры $P{{A}_{1}}$, $P{{B}_{1}}$, $P{{C}_{1}}$ на его стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Пусть $R$ — точка пересечения прямых $P{{A}_{1}}$ и ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ Докажите, что прямая $AR$ делит сторону $BC$ пополам.